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長藤 かおり

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数値的検証法とその応用

長藤 かおり(数理学府)
学位:博士(数理学)(九州大学)
専門分野:数値的検証法
ユニット:数と式

活動報告書

近年、計算機での計算結果の信頼性の立場から見た科学技術計算法のひとつとして、精度保証付き数値計算法が注目を集めている。これは、扱う問題の真の解と、計算機による近似解との誤差を保証するという観点にとどまらず、理論的に解の存在証明が困難な問題に対して、計算機上で解の存在を数値的に検証する方法(数値的検証法・計算機援用証明法)としても急速に重要性を帯びつつある。

私はこれまで、無限次元作用素の真の固有値(および固有関数)の存在範囲を精度保証付きで求める研究を行ってきたが、これは非線形楕円型方程式の計算機を用いた理論的研究の一環として位置付けられるものであり、非可換調和振動子に関するcoupling 型固有値問題に対する数値的検証法の提案、Kolmogorov 問題における分岐解の安定性証明、2次元のNavier-Stokes方程式の定常解に対する検証手法の提案およびReynolds数が大きな場合のDriven Cavity 問題の定常解の存在証明などの研究成果を得てきた。

本研究の根幹を成す固有値精度保証法の特色は、無限次元固有値問題のある固有値の存在・非存在範囲を計算機上で数学的厳密さをもって保証する、という点である。このことは、得られた固有値の値に対する信頼性のみならず、その固有値の評価を、分岐解の安定性証明など関連する問題の証明に使えるという大きな利点を備えている。これは、数学的に厳密なという立場から非常に重要な点で、本研究上の最大の特色であるといえる。無限次元作用素の固有値精度保証法としては、自己共役作用素に関しては古くから提案されてきたが、非自己共役作用素に関してはまだ世界的にも殆ど例がなく、我々の手法を流体問題などの具体的な問題に適用することにより、個々の数理モデルにおいて新たな知見が多く得られることが期待できる。

さらに、無限次元作用素の固有値の非存在範囲の保証に関しては、特に偏微分作用素の場合においては、解析的な考察により明らかな場合を除いて我々の提案手法が現時点で国内外において唯一の手法である。ある特定の範囲に固有値が存在するか否かを数学的に厳密に保証することは、半導体の設計など固体電子論においても重要な問題であり、MI関連企業との協働によりその効率的な実装法を開発し、実際の現場における個々の問題に適用することを目指す。また、近年 Photonic Crystal のバンドギャップ構造の存在に関する研究をドイツのPlum氏らの研究グループとともに行っている。バンドギャップ構造が観察されるPhotonic Crystal はナノテクノロジーによって製作され、光はバンドギャップ内にない全ての周波数に対して吸収されることが知られている。

Photonic Crystal Model

数理モデルとしてはMaxwell方程式で記述され、Photonic Crystalのバンドギャップはスペクトル・ギャップに対応する。よって対応する作用素の固有値の存在・非存在を厳密に解析することは工学的な実用上も重要な意味を持つ。大学院における教育指導を通して、このような数学的に厳密な解析に精通する人材を育て、彼らを媒介としてMI関連企業との連携を深めることにより、当該分野におけるブレークスルーを目指す。ここでいうブレークスルーとは、数学理論を用いることによる企業サイドでのものと、実際の現場からの要請に応え得る数学理論の構築という数学サイドでのものとの双方を視野に入れている。

また、本研究の更なる意義として、純粋数学の定理を紙と鉛筆だけで証明するのではなく、計算機を使って論理的に厳密に証明する、Computer Assisted Proofという新しい方向性への火付け役になる可能性や、数学や応用数理における非構成的存在定理に構成的な証明を与え、それを多くの人が利用出来るようにパッケージ化する、という新科学領域を開拓するための第一歩になることも期待できるだろう。

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