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穴井 宏和

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事業推進担当者

数式処理の理論とその応用

穴井 宏和(数理学府)
学位:博士(情報理工学)(東京大学)
専門分野:計算機代数、数値/数式ハイブリッド計算
ユニット:数と式

活動報告書

図1.モデルベース設計のフロー

計算機代数いわゆる数式処理の理論とその応用の研究を行っている。数式処理の効率的なアルゴリズム研究を進めながら、一方で理工学や産業におけるいろいろな問題に対して、数式処理のアルゴリズムに基づいた新しい方法論を開発し、その成果をツールとして実装しながら実際の工学や産業上の問題への適用を推進している。応用としては、物理学、バイオからシステム制御理論などと多岐に渡る。最近では、特に「ものづくり」に着目し、先進的なものづくりの方法論を確立すべく、新しいシミュレーション技術やそれに基づくより系統的な設計・検証手法の開発に取り組んでいる。数学をベースにした新しいシステム設計論を構築し、ものづくりのパラダイムを創生することを目指している。

図2.実代数幾何とハイブリッド最適化

近年ものづくりにおいて、モデルベース設計・開発が注目されている。ものづくりにおける解析・設計・検証等の問題は、対象の数式モデルを用いることで、多くの場合、数理的制約問題として捉えることができる。よって、設計プロセスの発展は、利用可能な計算手法(最適化手法)と深く関係している。実際、数値最適化に基づく設計が各分野において精力的に研究されている。特に、解析・設計問題を凸最適化問題に帰着し、数値的凸最適化手法を用いて解く方法により、それまで解析的に解けなかった問題に対しても大域的な最適解を求めることが可能となった。それら設計手法は、計算機能力の進展および精度や効率に優れたアルゴリズムの開発によって実用的な設計手法となってきた。しかし、これら数値計算による設計手法にも課題が残っている。ものづくりにおける、高品質・高性能化、高付加価値化、多品種少量生産などの要求により、非凸問題の大域的最適解をより正確に導くことや、パラメトリックに問題を解くこと(実行可能解を可能領域として求める、最適解をパラメータ付で求める) などが求められてきたのである。

このような課題の解決のために有効な手法として、記号・代数計算に基づく最適化・制約問題解消に着目し、その効率的な計算アルゴリズムの研究を行っている。具体的には、限量子消去(Quantifier Elimination: QE) やグレブナ基底(Groebner bases: GB)を用いた方法である。GBやQEは、代数幾何及び実代数幾何の理論に基づく代数的アルゴリズムである。QEのアルゴリズムを利用した最適化法を高速化し実用的な手法とするため、数値的な最適化手法と上手く組み合わせ(数値・数式ハイブリッド計算に基づく)新しい最適化手法を開発している。

図3.研究方針とゴール

ものづくりをはじめとした実応用への展開の中に数理を見出し、それを応用(計算)数学へと繋げ、さらに数学とのインタラクションから、応用に必要な新しい数理が創り出され、数学における新たな概念が誘起され理論的発展が促されるような研究を目指している。その実現に向けて、実応用・システム論・応用数学・そして数学の各分野の研究者と密な連携をとりながら研究を進めている。

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