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佐伯 修

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事業推進担当者

DNA結び目のトポロジー

佐伯 修(ユニットリーダー)(数理学府)
学位:博士(理学)(東京大学)
専門分野:位相幾何学
ユニット:形と流れ

活動報告書

ドーナツとコーヒーカップは
位相幾何的には同じ

位相幾何学(トポロジー)とは、図形をゴムのようなものでできていると考え、グニャグニャと連続的に変形できるものは同じと思う、というとても柔らかい幾何学のことである。言い換えると、幾何学的対象の性質のうち、それを連続的に変形しても変わらないものを研究する、純粋数学の一分野である。たとえばコーヒーカップとドーナツは位相幾何学的には同じものである。それらには「穴」がちょうど一つずつあるが、この「穴」の個数は,図形の連続変形で変わらない量の一つの典型的な例である。

こうした位相幾何学は、図形が柔軟性を持つ場合に威力を発揮する。その最たるものが、紐を結んでできる結び目や絡み目であろう。紐を結ぶことは日常生活でも重要な行為であり、結び目が原始時代から人間の生活と深く結びついていることは間違いない。実際,野生のゴリラも結び目を作ることができることが知られている。ごく最近になって、こうした結び目が、DNA(デオキシリボ核酸)の研究に深く関わることが明らかになってきている。

酵素によるDNA組み換えの例

遺伝情報の担い手であるDNAは、生物の細胞内で捩れた紐状の形をしており、輪になっていることも多い。生物学的な観察により、輪になったDNAが結ばれたり、絡んだりしていることもあることが知られている。こうしたDNAの結び目・絡み目は、酵素の働きによって作られることが知られていたが、その仕組みの詳細については実験技術の限界のために明らかにされていなかった。1980年代終盤、数学者のC.ErnstとD.W.Sumnersは、数学、特にトポロジーにおける結び目理論の最新の結果を駆使してその酵素の仕組みを解明した。もともと結び目理論は19世紀のGaussによる電磁気学やKelvin卿による渦原子仮説に端を発すると言われているが、その後化学者・物理学者は結び目を忘れ、数学者だけが興味を持って研究してきた歴史がある。我々はその流れを受け、現代数学の中でも最近もっとも盛んに研究されている分野の一つである結び目理論を駆使することにより、トポイソメラーゼと呼ばれる酵素によるDNA組み換えの解析を、数学的側面から研究しており、こうした解析の産業技術への応用を目指している。

なお、こうした研究と同時に、可微分写像の特異点論も活発に研究している。特に、滑らかな物体間の写像の特異点が、そうした物体の位相幾何学的性質を深く反映する具体的事実などを数多く発見してきている。特に1点の逆像(特異ファイバーと呼ばれる)に着目する研究では世界的な第一人者であり、それを最初に定式化した著書も出版している。

また、可微分写像の特異点論以外にも、位相的埋め込みの第一障害類、余次元1写像の分離性質、複素超曲面の孤立特異点の位相幾何、ファイバー結び目、4次元多様体、余次元1の埋め込み、空間曲線の微分幾何学的不変量、結び目解消数など、位相幾何学の様々な分野を幅広く研究している。さらに、一般化されたフィボナッチ数列の漸近挙動についても精力的に研究を行っており、解析関数の零点に関する研究もある。

こうした幅広い研究を行っていることは、教育に対する効果もかなり大きく、それはこれまでに執筆指導をした修士・博士論文のテーマからもうかがえる。実際、DNA結び目の研究で修士論文を執筆した学生もいる。また、博士課程で指導をした学生が、九州大学大学院数理学府の大学院教育改革支援プログラム「産業技術が求める数学博士と新修士養成プログラム」の研究員に雇用されるなど、指導した学生の産業技術への貢献の実績もある。

「形と流れ」のユニットリーダーとして、今後も数学と産業技術の関わりを深めてゆければ幸いである。

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