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梶原 健司

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可積分系の理論の展開:新しい数理的方法論

梶原 健司(数理学府)
学位:博士(工学)(東京大学)
専門分野:可積分系の理論
ユニット:機能数理の基礎

活動報告書

波動現象はエネルギーの伝搬の基本形式の一つであり、マス・フォア・インダストリの柱である流体力学の主要な研究対象である。特に、ソリトンと呼ばれる粒子的性質を併せ持つ非線形波動は、カオス・フラクタルと並んで非線形現象を特徴づける普遍的な基本モードとして広く認識されている。 非線形波動ソリトンの存在は物理的にも数理的にも「奇跡」によって支えられている。物理的には、安定に伝搬する孤立波は線形理論からは導出されず、非線形性と分散性の微妙なバランスの上に存在していると理解されている。また数理的には、ソリトンを記述する基礎方程式は非線形偏微分方程式という極めて解析しにくいものであるにもかかわらず、ある意味で厳密に解けるという顕著な性質を持っている。それらの奇跡の背後には「無限自由度の対称性によって支えられた無限次元の空間」の数理があり、その数理を共有する函数方程式のファミリーを「可積分系」と呼ぶ。背後の数理を深く理解することによって、可積分系は流体力学だけでなく多くの分野への応用がなされている。以下では3つの例を挙げる。

1.離散化と超離散化:ソリトンを記述する微分方程式の背後の構造を保存した独立変数の離散化を行い、可積分な差分方程式を構成したり、従属変数まで離散化してセルオートマトンを構成する方法(「超離散化」)が発達してきた。
左の図は典型的なソリトンの相互作用を表している。左からやってきた大きな速いソリトンが小さく遅いソリトンを追い抜いている。相互作用の前後で振幅・速度・形は変化しないが、非線形である証拠に各々の波の位置がずれている。

一方左の図はソリトンを記述するオートマトンである。箱の列と玉がある。各時刻で左から玉を右の最も近い空箱に移し、全ての玉を移動したら時刻を1進める。この単純なモデルがソリトンを記述し、超離散化の手続きで偏微分方程式と対応がつく。離散化・超離散化は数値解析や交通流など広範な数理科学や工学の諸分野に応用され,大きな成功を収めている。

2.離散パンルヴェ方程式と楕円曲線:離散パンルヴェ方程式と呼ばれる差分方程式の族は、複素射影平面上の動く3次曲線上の加法定理として定式化される。離散パンルヴェ方程式はソリトンを記述する方程式の族と密接な関係があり、特殊解としてベッセル函数などの特殊函数やその拡張が現れる。このようにして可積分系は代数幾何学など純粋数学とも密接に関連する。 なお、離散パンルヴェ方程式は最近確率論や組合せ論と密接な関わりがあることが明らかになってきた。

3.離散ソリトン方程式と離散微分幾何学:19世紀に発達した古典曲線・曲面論はソリトン方程式とその変換論と密接に関連し、曲面を記述する方程式としてさまざまなソリトン方程式が現れる。10年ほど前から1.で述べた、可積分性を保存した離散化と整合する曲線・曲面論の建設が進んで可視化の理論的基盤として応用が検討され、マス・フォア・インダストリの柱の一つとして期待されている。下の図はサイン・ゴルドン方程式と呼ばれるソリトン方程式の解から作られる曲面と、その離散化である離散サイン・ゴルドン方程式の解から作られる離散曲面である。

可積分系の理論は流体力学・可視化・確率論など、広範な数理科学諸分野において厳密に解析可能な対象に対する方法論を与える。マス・フォア・インダストリにおいてはその特質を生かして「リベロ」として活躍したい。

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